小学二年级的数学定义 初中二年级数学公式定理的整体总结

推荐答案

二年级上册基本概念

1、要知道物体的长度，可以用尺来量。 2、图钉的长大约是1厘米。

3、二年级小学生大拇指的宽大约是1厘米。

4、测量物体时，把尺的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几，物体长就是几。测量比较长或高的物体用米作单位，测量比较短或矮的物体用厘米作单位。 5、1米=100厘米。100厘米=1米。 6、线段是直直的，有两个端点。

7、一座楼房高12米，一张桌子长40厘米，小明的手掌宽8厘米，一只杯子高10厘米。二年级学生的身高为1米30厘米，也就是132厘米，一张床的长大约是2米，一枝铅笔长18厘米，练习本的宽为14厘米，大树的高为6米。 8、笔算加减法时，首先要相同数位对齐，从个位算起，计算加法时，个位满十，向十位进一，计算减法时，个位不够减时从十位退一，个位为0时就算十减几，个位是其它数时就用十几减。

9、生活中的角有：剪刀、插有吸管的可乐瓶、自来水管、红领巾、黑板等。

10、角分为三个部分，分别为两条边和一个角，即边角边。二年级学过的角分为直角、比直角大的角、比直角小的角。 11、角的大小与角的两条边张开的大小有关，张开的越大，

角越大，张开的越小角越小。角的大小与两边的长短没有关系。角的两条边越长角就越大这种说法是错误的。 12、练习本上的直角和操场上的直角是一样大的，所有的直角都一样大。

13、一个角的两条边如果增长，角的大小不会改变。 14、从中间开始，左右两边的图形完全相同的就叫对称图形。 15、生活中的对称物体有蜻蜓、树叶、蝴蝶、球拍、红领巾、人的手、脚、人的身体等。

16、对称的图形有对称轴，正方形有四条、长方形有两条、正三角形有三条、圆有无数条、五角星有五条、六边形有六条、八边形有八条。

二年级数学下册概念 1、 每份分得同样多叫平均分。

2、 读除法时应注意：从左往右读，不要把“除以”读成“除”。

3、 除法各部分的名称：除号前面的数叫被除数，后面的数叫除数，等号后面的数叫商。

4、 42÷7＝6表示把42平均分成7份，每份是6；还表示42里面有6个7。 5、 用同一句口诀可以计算关联的两个乘法算式和两个除法算式。例如：三五十五

3×5=15 5×3=15 15÷3=5 15÷5=3

6、 求一个数的几倍是多少？用乘法计算。 如：8的2倍是多少？列式：8×2=16

7、 求一个数里面有几个另一个数，用除法计算。 如：8里面有几个2？列式：8÷2=4

把一个数平均分成几份，求一份是多少用除法计算。 如：把8平均分成2份，每份是多少？列式：8÷2=4 求一个数是另一个数的几倍是多少用除法计算。 如：求8是2的几倍？列式：8÷2=4 8、 ①加数＋加数=和 ② 因数×因数=积

和－一个加数=另一个加数 积÷一个因数=另一个因数 ③被减数－减数=差 ④ 除数÷除数＝商 被减数－差=减数 商×除数＝被除数 差＋减数=被减数 被除数÷商＝除数

9、 被除数和除数相等且不为0，商是1。

10、① 总数÷份数＝每份数 ② 总价÷单价=数量 总数÷每份数＝份数 总价÷数量=单价 每份数×份数＝总数 单价×数量=总价 第三单元：图形的运动

1、 锐角比直角和钝角小；钝角比直角和锐角大。

2、 要判断一个角是什么角，可以用三角板上的直角量一量。比直角小的角是（锐角），比直角大的角是（钝角）。

3、 当物体或者图形沿水平方向或竖直方向运动时，且本身的方向不发生改变，这种运动现象就是平移。

4、 当物体以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，这种运动现象就是旋转。 5、 角有一个顶点，两条边。角的大小与边的长短(无关),与（张口的大小）有关。 6、 红领巾有1个钝角和2个锐角。

7、 直角三角板上有3个角，分别是1个直角和2个锐角。 第五单元： 1、 在除法中，余数必须比除数(小),除数一定比余数（大）。

2、

在一个没有括号的算式中，如果只有加减法或者只有乘除法，要（按前后顺

序计算）；如果有加减法又有乘除法，要先算（乘除），再算（加减）；如果有小括号，要先算（括号里的）。 3、 10个一是（10），10个十是（100），10个一百是（1000）,10个一千是（10000）。 4、 一个数，从右边起，第一位是（个位），第二位是（十位），第三位是（百位），第四位是（千位），第五位是（万位）。

5、 一个五位数，它的最高位是（万位）：一个数的最高位是千位，它是（四）位数。最大的四位数是（9999），最小的五位数是（10000）,它们相差（1）。 6、 读数和写数要从（高）位起。一个四位数不管中间有几个零，只读（一）个

零，末尾的零都（不读）。写数时哪位上一个也没有，就用（0）占位。 7、

用竖式计算加减法时 1）（相同）位数要对齐； 2.）从（个）位算起；

3.）哪一位上满十，就向前一位（进一），哪一位不够减，就从前一位（退一）。

克与千克

1、 质量单位有：克、千克。

2、 表示物体有多重，可以用克与千克作单位。 1千克=1000克 3、 表示物体长短，可以用米和厘米作单位。 1米=100厘米 4、 称较轻的物品一般用克作单位。

称较重的物品一般用千克作单位。

其他回答

给你一份初中几何知识全集

1过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行:

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理：三角形两边的和大于第三边

16 推论：三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

18 推论1：直角三角形的两个锐角互余

19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边相等、对应角相等

22边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

23 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

24 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

25 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)

26 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

27 定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2：在一个角的内部，到角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等

31 推论1：等腰三角形顶角的平分线，平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且∠C=900

48定理：四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理：n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论：任意多边形的外角和都等于360°

52平行四边形性质定理1：平行四边形的两组对角分别相等

53平行四边形性质定理2：平行四边形的两组对边分别相等

54推论：夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3：平行四边形的两条对角线互相平分

56平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2：矩形的对角线相等

62矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1：菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

67菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1：关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1：经过梯形一腰的中点与两底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2， S=L×h

83 比例的基本性质(1)：如果a:b=c:d，那么ad=bc

　(2)如果ad=bc，（a，b，c，d≠0）那么a:b=c:d

84 合比性质：如果a:b=c:d,那么(a±b):b=(c±d):d

85 等比性质：如果a:b=c:d=…=m:n(b+d+…+n≠0)，那么 (a+c+…+m):(b+d+…+n)=a:b

86 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

88 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（摄影定理）

93 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似

94 判定定理3：三边对应成比例的两三角形相似

95 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆

110垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和⊙O相交 d﹤r

　 ②直线L和⊙O相切 d=r

　 ③直线L和⊙O相离 d﹥r

122切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么连心线必过切点

135①两圆外离 d﹥R+r

②两圆外切 d=R+r

　 ③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

　 ④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

136定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理：把圆分成n等份(n≥3)

　⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

　⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化）

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

（3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

×

c d

例如：因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x?+3x-40

=x?+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)?-(6.5)?

=(x+8)(x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x?+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x?+5x+6的一个因式。(事实上，x?+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(x?+x+1)(x?+x+2)-12时，可以令y=x?+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y?+3y+2-12=y?+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x?+x+5)(x?+x-2)

=(x?+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以参看右图。

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以参看右图。

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y?+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

几道例题

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

（分解因式的过程也可以参看右图。）

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

因式分解四个注意：

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考

例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误

例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

考试时应注意：

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。